Question

【题目】某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米（四舍五入，精确到0.1米）以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小组的频数是7．
（Ⅰ）求进入决赛的人数；
（Ⅱ）若从该校学生（人数很多）中随机抽取两名，记X表示两人中进入决赛的人数，求X的分布列及数学期望；
（Ⅲ）经过多次测试后发现，甲成绩均匀分布在8～10米之间，乙成绩均匀分布在9.5～10.5米之间，现甲，乙各跳一次，求甲比乙远的概率．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）第6小组的频率为1﹣（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14， ∴总人数为 （人）．
∴第4、5、6组成绩均进入决赛，人数为（0.28+0.30+0.14）×50=36（人）
即进入决赛的人数为36
（Ⅱ）由题意知X的可能取值为0，1，2，进入决赛的概率为 ，
∴X～ ， ，
P（X=1）= ，

∴所求分布列为：

X	0	1	2
P

，两人中进入决赛的人数的数学期望为
（Ⅲ）设甲、乙各跳一次的成绩分别为x、y米，
则基本事件满足的区域为： ，
事件A“甲比乙远的概率”满足的区域为x＞y，如图所示
∴由几何概型P（A）= = ．
即甲比乙远的概率为

【解析】（Ⅰ）由频率分直方图求出第6小组的频率，从而求出总人数，进而得到第4、5、6组成绩均进入决赛，由此能求出进入决赛的人数．（Ⅱ）由题意知X的可能取值为0，1，2，进入决赛的概率为 ，从而X～ ，由此能求出X的分布列及数学期望．（Ⅲ）设甲、乙各跳一次的成绩分别为x、y米，则基本事件满足的区域为： ，由此利用几何概型能求出甲比乙远的概率．