Question

【题目】如图，四棱锥P—ABCD中，PD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=2，PD=，M为棱PB的中点．

(1)证明：DM平面PBC；

(2)求二面角A—DM—C的余弦值．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：（1）连结，取的中点，连结，由已知条件推导出，，由此能证明平面；（2）以为原点，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值.

试题解析：(1)连接BD，取DC的中点G，连接BG，

由此知DG＝GC＝BG＝1，即△DBC为直角三角形，

∴BC⊥BD.又PD⊥平面ABCD，∴BC⊥PD，又PD∩BD＝D，

∴BC⊥平面BDP，∴BC⊥DM.

又PD＝BD＝，PD⊥BD，M为PB的中点，

∴DM⊥PB，∵PB∩BC＝B，

∴DM⊥平面PBC。

以D为坐标原点，射线DA，DC，DP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系D－xyz，

则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，P(0，0，)，

从而，设是平面ADM的法向量，

则，即2∴可取．

同理，设是平面CDM的法向量，则，即2

∴可取，∴，

显然二面角A－DM－C的大小为钝角，∴所以二面角A－DM－C的余弦值为.