Question

（本题满分14分）
已知动圆过定点P(1,0)且与定直线相切,点C在上.
（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹方程;
（Ⅱ）设过点P且斜率为的直线与曲线交于A、B两点.问直线上是否存在点C ,使得是以为直角的直角三角形？如果存在，求出点C的坐标;若不能,请说明理由.

Answer 1

解：①据已知，动圆圆心到点的距离与到直线的距离相等。由抛物线的定义，可知。动圆圆心的轨迹方程为抛物线：。…….5分
②
从已知得  
由得：
解出：。
所以点坐标为点坐标为。……………9分
法一:设，使为直角。，
求得,所以，直线上存在点 ,使得是以为直角的直角三角形。                              ………14分
法二:设D为AB中点,过D 作DC垂直于于C.
∵P为抛物线焦点
∴,又∵D为AB中点,,∴CD为梯形的中位线. ∴,∴∠
设,.所以，直线上存在点 ,使得是以为直角的直角三角形。     ………..14分
 

略