题目内容

在平面直角坐标系xoy中,已知四边形OABC是平行四边形,A(4,0),C(1,
3
),点M是OA的中点,点P在线段BC上运动(包括端点),如图
(Ⅰ)求∠ABC的大小;
(Ⅱ)是否存在实数λ,使
OA
-
OP
)⊥
CM
?若存在,求出满足条件的实数λ的取值范围;若不存在,请说明理由.
分析:(Ⅰ)由于四边形OABC是平行四边形,由cos∠ABC=cos∠AOC=
OA
OC
|
OA
|•|
OC
|
=
1
2
,求得∠ABC的值.
(II)设P(t,
3
)
,其中1≤t≤5,由
OA
-
OP
)⊥
CM
,可得
OA
-
OP
)•
CM
=0
,求得λ的解析式,再根据1≤t≤5,求得λ的值,从而得出结论.
解答:解:(Ⅰ)由题意,得
OA
=(4,0),
OC
=(1,
3
)
,因为四边形OABC是平行四边形,
所以,cos∠ABC=cos∠AOC=
OA
OC
|
OA
|•|
OC
|
=
1
2
,于是,∠ABC=
π
3
.…(6分)
(II)设P(t,
3
)
,其中1≤t≤5,
于是
OP
=(t,
3
),λ
OA
-
OP
=(4λ-t,-
3
),
CM
=(1,-
3
)
.…(9分)
OA
-
OP
)⊥
CM
,则
OA
-
OP
)•
CM
=0

4λ-t+3=0?λ=
t-3
4
.…(12分)
又1≤t≤5,所以λ=
t-3
4
∈[-
1
2
1
2
]
,故存在实数λ∈[-
1
2
1
2
]

使
OA
-
OP
)⊥
CM
.…(14分)
点评:本题主要考查两个向量的数量积公式的应用,用两个向量的数量积表示两个向量的夹角,属于中档题.
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