题目内容
在四棱锥
中，
平面
，底面为矩形，
.
（Ⅰ）当
时，求证：
；
（Ⅱ）若
边上有且只有一个点
，使得
，求此时二面角
的余弦值.
中，平面，底面为矩形，.（Ⅰ）当
时，求证：；（Ⅱ）若
边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值.（1）见解析：（2）
.
.本试题主要考查了立体几何中线线垂直和二面角的求解运用。
解：(Ⅰ)当嗄时，底面ABCD为正方形，
BD
AC
又因为BDPABD,面PAC…………………………2分
又PC
面PAC
BDPC…………………………3分
(Ⅱ) 因为AB,AD,AP两两垂直，分别以它们所在直线
为X轴、Y轴、Z轴建立坐标系，如图所示，
则
B(1,0,0)D(0，a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………………4分
设BQ=m，则Q(1,m,0)
要使PQQD，只要-1+m(a-m)=0
所以1=m(a-m)
，……6分
由此可知
时，存在点Q使得PQQD
当且仅当m= a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得PQQD
由此可知a=2…………………………8分
设面PDQ的法向量
则
解得
…………………………10分
取平面PAD的法向量
则
的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值为…………………………12分
解：(Ⅰ)当嗄时，底面ABCD为正方形，
BDAC又因为BD
PABD,面PAC…………………………2分又PC
面PACBD
PC…………………………3分(Ⅱ) 因为AB,AD,AP两两垂直，分别以它们所在直线
为X轴、Y轴、Z轴建立坐标系，如图所示，
则
B(1,0,0)D(0，a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………………4分
设BQ=m，则Q(1,m,0)
要使PQ
QD，只要-1+m(a-m)=0所以1=m(a-m)
，……6分由此可知
时，存在点Q使得PQQD当且仅当m= a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得PQ
QD由此可知a=2…………………………8分
设面PDQ的法向量
则
解得…………………………10分取平面PAD的法向量
则
的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以因此二面角A-PD-Q的余弦值为
…………………………12分
练习册系列答案
相关题目
中，
，
分别是
、
中点。
； 
的正切值。
，三条直线a,b,c共点，知：
且
。求证: 
，
为两条不同的直线，
，
为两个不同的平面，则下列命题是真命题的是（ ）
、
为不同的两条直线），
、
为不同的两个平面）
、
是两个不同的平面，则下列说法正确的是
，
是两条不同的直线，
是一个平面，则下列命题正确的是( )
，
，则
，则
，
，则
的底面是直角梯形，
，
，
，
分别是棱
，
上的动点，且
，
，
．
都为矩形；
时，求几何体
的体积。
