题目内容
如图,已知直四棱柱的底面是直角梯形,,,,分别是棱,上的动点,且,,.
(Ⅰ)证明:无论点怎样运动,四边形都为矩形;
(Ⅱ)当时,求几何体的体积。
(Ⅰ)证明:无论点怎样运动,四边形都为矩形;
(Ⅱ)当时,求几何体的体积。
(Ⅰ)在直四棱柱中,,
∵,∴, ---------------------------------------2分
又∵平面平面,平面平面,
平面平面,
∴,∴四边形为平行四边形,-----------------4分
∵侧棱底面,又平面内,
∴,∴四边形为矩形; -----------------------------5分
(Ⅱ)证明:连结,∵四棱柱为直四棱柱,
∴侧棱底面,又平面内,∴, -------6分
在中,,,则; ---------------7分
在中,,,则; -------------8分
在直角梯形中,;
∴,即,
又∵,∴平面; ---------------10分
由(Ⅰ)可知,四边形为矩形,且,,
∴矩形的面积为,
∴几何体的体积为
∵,∴, ---------------------------------------2分
又∵平面平面,平面平面,
平面平面,
∴,∴四边形为平行四边形,-----------------4分
∵侧棱底面,又平面内,
∴,∴四边形为矩形; -----------------------------5分
(Ⅱ)证明:连结,∵四棱柱为直四棱柱,
∴侧棱底面,又平面内,∴, -------6分
在中,,,则; ---------------7分
在中,,,则; -------------8分
在直角梯形中,;
∴,即,
又∵,∴平面; ---------------10分
由(Ⅰ)可知,四边形为矩形,且,,
∴矩形的面积为,
∴几何体的体积为
略
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