Question

15．设函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x²．又函数g（x）=|sin（πx）|，则函数h（x）=g（x）-f（x）在区间[-1，3]上零点的个数为（　　）

• A． 6
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 根据条件判断函数f（x）的周期性，令h（x）=0，得g（x）=f（x），分别作出函数f（x）和g（x）的图象，利用图象判断两个函数的交点个数即可得到结论．

解答 解：∵f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），
∴f（x）=f（2-x）=f（x-2），
即函数是偶函数，且函数是周期为2的周期数列，
设x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，
则f（x）=f（-x）=（-x）²=x²，
即f（x）=x²．x∈[-1，1]，
由h（x）=g（x）-f（x）=0，则f（x）=g（x），
∵g（x）=|sin（πx）|，
∴在坐标系中作出函数f（x），g（x）的图象如图：
由图象可知，两个图象的交点个数为6个，
故函数h（x）=g（x）-f（x）在区间[-1，3]上零点的个数为6个，
故选：A

点评 本题主要考查函数零点个数的判断，利用数形结合转化为两个函数的图象交点个数是解决本题的关键．