题目内容
【题目】已知函数的图像与x轴相邻的两交点间的距离为
,把函数的图像沿x轴向左平移
个单位,得到函数
的图像,关于函数
,现有如下命题:
①在上是减函数;②其图像关于点
对称;
③函数是奇函数;④当
时,函数
的值域为
.
其中真命题的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】
根据题意得到周期,从而得到
的值,得到
的解析式,再根据平移,得到
的解析式,然后求出
的图像与性质,对四个命题进行判断,得到答案.
因为图像与x轴相邻的两交点间的距离为
,
所以,即
,
所以.
所以
,
把函数的图象沿
轴向左平移
个单位,
得
,
即.
令,
,
得,
,
所以的单调递减区间
,
,
当,得
单调递减区间为
,
所以在
上是减函数,
所以①正确;
令,
,
所以,
,
所以的对称中心为
,
所以时,
是
的一个对称中心,
所以②正确;
,定义域
,
,
所以,
所以为偶函数,
所以③不正确;
当时,
,
,
即函数的值域为
.
所以④正确.
故选:C.
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