题目内容
【题目】如图，某市效外景区内一条笔直的公路经过三个景点A、B、C.景区管委会又开发了风景优美的景点D.经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向且距A 8 km处，且位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向 上，已知AB＝5 km，AD＞BD.
(1)景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；
(2)求∠ACD的正弦值．
【答案】(1) 这条公路长为(4
－3)km. (2)
【解析】
试题分析: （1）过点
作
于点
，过点
作
，交
的延长线于点
，求
的问题就可以转化为求
的度数或三角函数值的问题．
(2)在
中，由正弦定理可得
，在
中
则由
即可得到
的正弦值．
试题解析：( (1)△ABD中，∠ADB＝30°，AD＝8km，AB＝5km，设DB＝x km.
则由余弦定理得52＝82＋x2－2×8×x·cos30°，即x2－8
x＋39＝0，解得x＝4±3.
∵4＋3＞8，舍去，∴x＝4－3，
∴这条公路长为(4－3)km.
(2)在△ADB中，
＝
，
∴sin∠DAB＝
＝
，
∴cos∠DAB＝
.
在△ACD中，∠ADC＝30°＋75°＝105°，
cos105°＝cos(60°＋45°)
＝cos60°cos45°－sin60°sin45°＝
，
sin105°＝sin(60°＋45°)＝
，
∴sin∠ACD＝sin[180°－(∠DAC＋105°)]
＝sin(∠DAC＋105°)
＝sin∠DAC·cos105°＋cos∠DAC·sin105°
＝×＋×
＝
.
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