题目内容
【题目】已知,函数
,函数
.
(1)当函数图象与
轴相切时,求实数
的值;
(2)若函数对
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)当时,讨论函数
在区间
上的零点个数.
【答案】(1);(2)
;(3)当
时,
在区间
有1个零点,当
时,
在区间
内无零点.
【解析】
(1)设切点,由导数的几何意义为切线的斜率构建方程,求得答案;
(2)结合已知表示函数的解析式,对其求导,由导函数解析式可知
在
单调递增,再分类讨论当
,当
,两种情况下
的单调性和最值即可;
(3)结合已知表示函数的解析式,对其求导,由导函数解析式可知
在
单调递减,分类讨论当
时,易证
,无零点;当
时,由不等式性质与单调性易证得有1个零点;当
时,由零点的存在性定理可知存在唯一
,使得
,再利用导数分析单调性,进而分析出此时无零点.
(1)由题得设切点,
,
所以,
,解得
;
(2),
因为在
单调递增,所以
在
单调递增,
所以.
当,
,
在
单调递增,
所以恒成立,所以
.
当,
,
所以,
当,
所以,使得
,
当,
,
在
单调递减,
所以时,
,与
矛盾舍去.
综上 .
(3),
,
在
单调递减.
当时,
,因为
,
所以,即
在
单调递增.
则,所以
在区间
内无零点.
当时,
,
所以,
,所以存在唯一
,使得
.
所以在区间
有1个零点.
当时,
在
单调递减,
所以存在唯一,使得
,
当,
,
在
单调递增,
当,
,
在
单调递减,
所以当时,
最大值为
,
代入得,
,
因为,所以
,故
,
所以,在
在区间
内无零点.
综上,当时,
在区间
有1个零点,
当时,
在区间
内无零点.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某小店每天以每份5元的价格从食品厂购进若干份食品,然后以每份10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的食品还可以每份1元的价格退回食品厂处理.
(Ⅰ)若小店一天购进16份,求当天的利润(单位:元)关于当天需求量
(单位:份,
)的函数解析式;
(Ⅱ)小店记录了100天这种食品的日需求量(单位:份),整理得下表:
日需求量 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
频数 | 10 | 20 | 16 | 16 | 15 | 13 | 10 |
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
(i)小店一天购进16份这种食品,表示当天的利润(单位:元),求
的分布列及数学期望;
(ii)以小店当天利润的期望值为决策依据,你认为一天应购进食品16份还是17份?