题目内容
【题目】某同学在研究函数f(x)=(x∈R)时,分别给出下面几个结论:
①等式f(-x)=-f(x)在x∈R时恒成立;
②函数f(x)的值域为(-1,1);
③若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2);
④方程f(x)=x在R上有三个根.
其中正确结论的序号有______.(请将你认为正确的结论的序号都填上)
【答案】①②③
【解析】
由奇偶性的定义判断①正确,由分类讨论结合反比例函数的单调性求解②;根据单调性,结合单调区间上的值域说明③正确;由只有
一个根说明④错误.
对于①,任取,都有
,∴①正确;
对于②,当时,
,
根据函数的奇偶性知
时,
,
且时,
,②正确;
对于③,则当时,
,
由反比例函数的单调性以及复合函数知,在
上是增函数,且
;
再由的奇偶性知,
在
上也是增函数,且
时,一定有
,③正确;
对于④,因为只有
一个根,
∴方程在
上有一个根,④错误.
正确结论的序号是①②③. 故答案为:①②③.
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