题目内容
如图,已知正方体的棱长为2,E、F分别是、的中点,过、E、F作平面交于G.
(l)求证:EG∥;
(2)求二面角的余弦值;
(3)求正方体被平面所截得的几何体的体积.
(l)求证:EG∥;
(2)求二面角的余弦值;
(3)求正方体被平面所截得的几何体的体积.
(1)详见试题解析(2) (3)
试题分析:(1)两平行平面都与第三个平面相交,则交线平行;
(2)以为原点分别以为轴,建立空间直角坐标系,平面的法向量为,求出平面的法向量,利用空间向量的夹角公式求二面角的余弦值.
(3)所求几何体是由正方体截去一个三棱台而得到, 所以,.
(1)证明:在正方体中,因为平面平面,
平面平面平面平面
(2)解:如图,以为原点分别以为轴,建立空间直角坐标系,
则有
设平面的法向量为则由和得
取得
又平面的法向量为
故
所以截面与底面所成二面角的余弦值为
(3)解:设所截几何体的体积为
与相似,
故
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