Question

6．设函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{4}$）．
（1）当ω=1，x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，求函数f（x）的值域；
（2）当ω=-1时，求函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）把ω=1代入函数解析式，由x的范围求出相位的范围，则函数值域可求；
（2）把ω=-1代入函数解析式，利用诱导公式变形，然后利用复合函数的单调性求得函数f（x）的单调递减区间．

解答 解：（1）当ω=1时，f（x）=$\sqrt{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，
由x∈（0，$\frac{π}{2}$），得2x+$\frac{π}{4}∈$（$\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}$），
∴sin（$2x+\frac{π}{4}$）∈（-$\frac{\sqrt{2}}{2}，1$]，则$\sqrt{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{4}$）∈（-1，$\sqrt{2}$]．
∴函数f（x）的值域为（-1，$\sqrt{2}$]；
（2）当ω=-1时，f（x）=$\sqrt{2}$sin（-2x+$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得$-\frac{π}{8}+kπ≤x≤\frac{3π}{8}+kπ，k∈Z$．
∴函数f（x）的单调递减区间为[$-\frac{π}{8}+kπ，\frac{3π}{8}+kπ$]，k∈Z．

点评 本题考查三角函数的图象和性质，考查了与三角函数有关的复合函数的单调性，是基础题．