Question

16．（1）求2003¹⁰除以8的余数；
（2）求1.997⁵精确到0.001的近似值．

Answer 1

分析 （1）先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数；
（2）将1.997写出2-0.003；利用二项式定理展开，结合精确度，可求出近似值

解答 解：（1）2003¹⁰=（2000+3）¹⁰
=C₁₀⁰•2000¹⁰+C₁₀¹•2000⁹•3+C₁₀²•2000⁸•3²+…+C₁₀⁹•2000¹•3⁹+C₁₀¹⁰3¹⁰
∵（C₁₀⁰•2000¹⁰+C₁₀¹•2000⁹•3+C₁₀²•2000⁸•3²+…+C₁₀⁹•2000¹•3⁹）为2000的倍数，
故∵（C₁₀⁰•2000¹⁰+C₁₀¹•2000⁹•3+C₁₀²•2000⁸•3²+…+C₁₀⁹•2000¹•3⁹）为8的倍数，
故2003¹⁰除以8的余数等于3¹⁰除以8的余数，
又∵3¹⁰=9⁵=（8+1）⁵=C₅⁰•8⁵+C₅¹•8⁴+C₅²•8³+C₅³•8²+C₅⁴•8+1，
（C₅⁰•8⁵+C₅¹•8⁴+C₅²•8³+C₅³•8²+C₅⁴•8）为8的倍数，
故2003¹⁰除以8的余数为1；
（2）解：1.997⁵=（2-0.003）⁵=C₅⁰2⁵-C₅¹•2⁴•（0.003）¹+C₅²•2³•（0.003）²-C₅³•2²•（0.003）³+C₅⁴•2•（0.003）⁴-C₅⁵•（0.003）⁵≈32-5×16•（-0.003）=31.760

点评 本题考查利用二项式定理的展开式解决整除性问题．关键是将幂形式写成二项式形式