Question

5．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右顶点为A、B，点P在直线x=t（t为常数）上，线段AP与椭圆C交于点Q（异于点A），设以PQ为直径的圆交直线BQ于点M（异于点Q），问直线PM是否恒过一个定点？

Answer 1

分析 设Q（x₀，y₀），可表示出AQ的方程，进而表示出P的坐标，由QB⊥PM可求得直线PM的方程，令y=0即可得到直线PM与x轴的交点的横坐标，再根据点Q在椭圆上即可求出x的值，从而得出结论．

解答 解：设Q（x₀，y₀）（y₀≠0），则直线AQ的方程为y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$（x+a），
∴P的坐标为P（t，$\frac{（t+a）{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$），
又直线QB的斜率=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$，而PQ为直径，∴QB⊥PM，
∴直线PM的斜率=-$\frac{{x}_{0}-a}{{y}_{0}}$，
从而直线PM的方程为y-$\frac{（t+a）{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$=-$\frac{{x}_{0}-a}{{y}_{0}}$（x-t），
令y=0，得直线PM与x轴的交点的横坐标为x=t+$\frac{（t+a）{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}$
又点Q在椭圆上，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
∴x=$\frac{{c}^{2}t-a{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴直线PM与x轴的交点为定点，且该定点的坐标为（$\frac{{c}^{2}t-a{b}^{2}}{{a}^{2}}$，0）．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解及直线方程的求法，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力，结合性强，有一定难度．