题目内容

给出下列四个命题:
①如果α⊥β,那么α内一定存在直线平行于平面β
②如果α⊥β,那么α内所有直线都垂直于平面β
③如果α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,那么l⊥γ
④α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ
其中为真命题的序号为
①③④
①③④
分析:根据面面垂直的性质定理,可得①正确;根据面面垂直的性质定理,通过举反例可得②错;根据面面垂直的性质与判定,结合线面垂直的判定定理,得到③正确;根据面面平行的传递性与线面垂直的性质,可得④正确.
解答:解:对于①,如果α⊥β,设它们的交线为l,
在α内作垂直于l的直线m,可得m⊥β,故①正确;
对于②,如果α⊥β,设它们的交线为l,
在α内作直线n与l相交且不垂直,则n不能与β垂直,故②错;
对于③,如果α⊥γ,β⊥γ,设α、γ的交线为a,β、γ的交线为b,
在γ内取a、b外的一点O,作OA⊥a于A,OB⊥b于B,
∵α⊥γ,α∩γ=A,OA?γ,OA⊥a
∴OA⊥α
∵α∩β=l⇒l?α
∴OA⊥l,同理OB⊥l
∵OA、OB?γ,OA∩OB=O
∴l⊥γ,故③正确;
对于④,因为α∥β且m⊥α,所以m⊥β
又因为β∥γ,所以m⊥γ,故④正确.
故答案为:①③④
点评:本题以命题的真假判断为载体,考查了平面与平面垂直、平面与平面平行的性质与判定,同时还考查了空间的平行与垂直之间的联系,属于中档题.
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