Question

【题目】棱长为1的正方体中，分别是的中点.

①在直线上运动时，三棱锥体积不变；

②在直线上运动时，始终与平面平行；

③平面平面；

④连接正方体的任意的两个顶点形成一条直线，其中与棱所在直线异面的有条；

其中真命题的编号是_______________.（写出所有正确命题的编号）

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

画出正方体图形，
①P在直线BC1上运动时，三棱锥A-D1PC的体积不变；三角形AD1P面积不变，C到平面距离不变，体积为定值；
②Q在直线EF上运动时，可证面GEF∥平面AA1C1C，GQ面GEF，从而判定②是否成立．
③M是正方体的面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是一条线段．线段A1D1满足题意．
④可列举出所求与棱AA1异面的直线，从而判定真假．

：①P在直线BC1上运动时，三棱锥A-D1PC的体积不变；三角形AD1P面积不变，C到平面距离不变，体积为定值；
②Q在直线EF上运动时，EF∥AC，GF∥C1C，可知面GEF∥平面AA1C1C，GQ面GEF，所以②成立．
③易得．即
④以正方体ABCD-A1B1C1D1的任意两个顶点为端点连一条线段，其中与棱AA1异面的有BC、BC1、B1C、B1C1、C1D1、B1D1、CD、CD1、C1D、BD1、B1D、BD共12条，故不正确；
故答案为：①②③．