题目内容
【题目】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC.已知D是BC的中点,AB=AA1=2.
(I)求证:平面AB1D⊥平面BB1C1C;
(II)求证:A1C∥平面AB1D;
(III)求三棱锥A1-AB1D的体积.
【答案】(I)证明见解析;(II)证明见解析;(III).
【解析】试题分析:(1)利用线面垂直的判定定理,证得平面
,即可得出平面
平面
;
(2)连接,设
,连接
,由中位线定理可得
,得到
平面
;
(3)根据,即可求得三棱锥的体积.
试题解析:
(I)证明:由已知△ABC为正三角形,且D是BC的中点,所以AD⊥BC.因为侧棱AA1⊥底面ABC,AA1∥BB1,所以BB1⊥底面ABC.又因为AD底面ABC,所以BB1⊥AD.而B1B
BC=B,所以AD⊥平面BB1C1C.因为AD
平面AB1D,所以平面AB1D⊥平面BB1C1C.
(II)证明:连接A1B,设A1BAB1=E,连接DE.
由已知得,四边形A1ABB1为正方形,则E为A1B的中点.
因为D是BC的中点,所以DE∥A1C.
又因为DE平面AB1D,A1C
平面AB1D,
所以A1C∥平面AB1D.
(III)由(II)可知A1C∥平面AB1D,所以A1与C到平面AB1D的距离相等,
所以.由题设及AB=AA1=2,得BB1=2,且
.
所以=
×
,
所以三棱锥A1-AB1D的体积为.
![](http://thumb.zyjl.cn/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目