题目内容

【题目】已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.

)求椭圆C的方程;

)点P(23)Q2-3)在椭圆上,AB是椭圆上位于直线PQ两恻的动点,

若直线AB的斜率为,求四边形APBQ面积的最大值;

AB运动时,满足于∠APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.

【答案】1;2)(1;(2)直线的斜率是一个定值.

【解析】

(1)根据抛物线焦点,求得b,再由离心率和椭圆中a、b、c的关系求得a、c的值,进而得到椭圆的标准方程。

(2)设出A、B的坐标联立直线与椭圆的方程,结合韦达定理求得x1+x2=-2t,x1x2=2t2-4;由直线x=2与椭圆交于P,Q两点可求得P,Q两点的坐标,则四边形APBQ的面积S=SAPQ+SBPQ即可得到面积的最大值;设出直线方程,联立椭圆方程,化简得到关于x的一元二次方程,利用韦达定理得到AB斜率的表达形式,即可得到斜率为定值。

(1)设椭圆C的方程为=1(a>b>0),由题意可得它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点(0,),b=.

再根据离心率,求得a=2,

∴椭圆C的方程为=1.

(2)①设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的方程为y=x+t,代入椭圆C的方程化简可得x2+2tx+2t2-4=0,Δ=4t2-4(2t2-4)>0,求得-2<t<2.

由根与系数的关系可得x1+x2=-2t,x1x2=2t2-4.

=1,x=2求得P(2,1),Q(2,-1),

∴四边形APBQ的面积S=SAPQ+SBPQ=·PQ·|x1-x2|=×2×|x1-x2|=|x1-x2|=,

故当t=0,四边形APBQ的面积S取得最大值为4.

②当∠APQ=BPQ,PA,PB的斜率之和等于零,PA的斜率为k,PB的斜率为-k,PA的方程为y-1=k(x-2),把它代入椭圆C的方程化简可得(1+4k2)x2+8k(1-2k)x+4(1-2k)2-8=0,

x2+2=.

同理可得直线PB的方程为y-1=-k(x-2),x2+2=,

x1+x2=,x1-x2=.

AB的斜率k=

=

=

=.

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