Question

【题目】已知定义域为R的函数f（x）= 是奇函数，f（1）=﹣ ．
（1）求a，b的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为f（x）在定义域为R上是奇函数，所以f（0）=0，

即 =0，解得：b=1，

又由f（1）=﹣ ，即 =﹣ ，解得：a=1，

经检验b=1，a=1满足题意

（2）解：证明：由（1）知f（x）= ，任取x1，x2∈R，设x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = ，

因为函数y=2x在R上是增函数且x1＜x2，

∴ ﹣ ＞0

又（ +1）（ +1）＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在R上为减函数

【解析】（1）根据函数的奇偶性求出b的值，根据f（1）的值，求出a即可；（2）根据函数单调性的定义证明即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解奇偶性与单调性的综合的相关知识，掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．