Question

1．已知函数f（x）=x²+ax+1是偶函数．
（1）求a的值；
（2）当x∈（-∞，0]时判断并证明f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）根据偶函数的定义，f（-x）=f（x），得出a=0；
（2）a=0时求出f（x）的解析式，利用单调性定义证明x∈（-∞，0]时，f（x）是减函数即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x²+ax+1是偶函数，
∴对任意x∈R，都有f（-x）=f（x），
即（-x）²+a（-x）+1=x²+ax+1，
∴a=0；
（2）a=0时，f（x）=x²+1，
当x∈（-∞，0]时，f（x）是单调减函数；
证明如下：任取x₁、x₂∈（-∞，0]，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（${{x}_{1}}^{2}$+1）-（${{x}_{2}}^{2}$+1）=${{x}_{1}}^{2}$-${{x}_{2}}^{2}$=（x₁-x₂）（x₁+x₂），
∵x₁＜x₂≤0，∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂＜0；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）是（-∞，0]上的单调减函数．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性的判断与证明问题，是基础题目．