Question

16．已知各项均不相等的等差数列{a_n}的前五项的和为S₅=25，且a₁，a₄，a₁₀成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记T_n为数列{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$}的前n项和，若T_n≤λa_n+1对?n∈N^*都成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，由a₁，a₄，a₁₀成等比数列．可得${a}_{4}^{2}$=a₁a₁₀，a₁=3d．又S₅=25，化为a₁+2d=5．联立解出即可．
（2）$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}$，利用“裂项求和”可得数列{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$}的前n项和T_n=$\frac{1}{3}-\frac{1}{n+3}$．再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，∵a₁，a₄，a₁₀成等比数列．
∴${a}_{4}^{2}$=a₁a₁₀，
∴$（{a}_{1}+3d）^{2}$=a₁（a₁+9d），化为：a₁=3d．
又S₅=25，∴$5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d$=25，化为a₁+2d=5．
联立$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=3d}\\{{a}_{1}+2d=5}\end{array}\right.$，解得d=1，a₁=3．
∴a_n=3+（n-1）=n+2．
（2）$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+2）（n+3）}$=$\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$}的前n项和T_n=$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{4}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）$=$\frac{1}{3}-\frac{1}{n+3}$．
T_n≤λa_n+1化为：λ≥$-（\frac{1}{n+3}）^{2}$+$\frac{1}{3}•\frac{1}{n+3}$=-$（\frac{1}{n+3}-\frac{1}{6}）^{2}$+$\frac{1}{36}$．
∴当n=3时，-$（\frac{1}{n+3}-\frac{1}{6}）^{2}$+$\frac{1}{36}$取得最大值：$\frac{1}{36}$．
∵T_n≤λa_n+1对?n∈N^*都成立，
∴$λ≥\frac{1}{36}$．
∴实数λ的最小值为$\frac{1}{36}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、不等式的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．