题目内容

18.设Sn是正项数列{an}的前n项和,且an和Sn满足4Sn=(1+an2(n=1,2,…),求{an}的通项公式.

分析 由4Sn=(1+an2,得4Sn-1=(1+an-12,两式相减得到an-an-1=2,由此能求出{an}的通项公式.

解答 解:∵Sn是正项数列{an}的前n项和,且an和Sn满足4Sn=(1+an2(n=1,2,…),
∴4Sn=(1+an2,①
4Sn-1=(1+an-12,n≥2,②
①-②,得:4an=${{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}+2{a}_{n}-2{a}_{n-1}$,n≥2
∴(an+an-1)(an-an-1)-2(an+an-1)=0,n≥2,
(an+an-1)(an-an-1-2)=0,
∵an>0,∴an-an-1=2,
当n=1时,$4{S}_{1}=4{a}_{1}=(1+{a}_{1})^{2}$,解得a1=1,
∴{an}是首项为1,公差为2的等差数列,
∴an=1+(n-1)×2=2n-1.

点评 本题考查数列的通项公式的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.

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