Question

2．已知实系数二次函数f（x）与g（x）满足3f（x）+g（x）=0和f（x）-g（x）=0都有双重实根，方程f（x）=0有两个不同实根，求证：方程g（x）=0没有实根．

Answer 1

分析 由题意得到方程组，表示出f（x），g（x）的表达式，结合方程根的情况，从而证出结论．

解答 解：由题意得：
$\left\{\begin{array}{l}{3f（x）+g（x）{{=a}_{1}（x{-b}_{1}）}^{2}}\\{f（x）-g（x）{{=a}_{2}（x{-b}_{2}）}^{2}}\end{array}\right.$，（其中a₁，a₂≠0），
两式相加得：f（x）=$\frac{1}{4}$[a₁${（x{-b}_{1}）}^{2}$+a₂${（x{-b}_{2}）}^{2}$]，
∵方程f（x）=0有两个不同实根，
∴a₁，a₂异号，且a₁+a₂≠0，b₁≠b₂，
同理可得：g（x）=$\frac{1}{4}$[a₁${（x{-b}_{1}）}^{2}$-3a₂${（x{-b}_{2}）}^{2}$]，
∴此时a₁、-3a₂同号，a₁+3a₂≠0，b₁≠b₂，
∴g（x）＞0恒成立，
即方程g（x）=0没有实根．

点评 本题考查了二次函数的性质，表示出f（x），g（x）的表达式，结合方程根的情况判断出系数的关系是解题的关键，本题是一道中档题．