题目内容

选修4-4：极坐标与参数方程
极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2
2
sin(θ+
π
4
)，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ+
π
4
，θ=φ-
π
4
，θ=
π
2
+φ与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D．
（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；
（Ⅱ）求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．
分析：（Ⅰ）把C1、把C2的方程化为直角坐标方程，根据因为曲线C1关于曲线C2对称，可得直线y=a经过圆心（1，1），求得a=1，故C2的直角坐标方程．
（Ⅱ）由题意可得，|OA|=2
2
sin(φ+
π
4
)； |OB|=2
2
sin(φ+
π
2
)=2
2
cosφ； |OC|=2
2
sinφ；|OD|=2
2
sin(φ+
3π
4
)=2
2
cos（
π
4
+φ），再根据|OA|•|OC|+|OB|•|OD|=8sin（φ+
π
4
）sinφ+8cos（
π
4
+φ）cosφ=8cos
π
4
，计算求得结果．
解答：解：（Ⅰ）C1：即 ρ2=2
2
ρ（
2
2
sinθ+
2
2
cosθ）=2ρsinθ+2ρcosθ，
化为直角坐标方程为 （x-1）2+（y-1）2=2．
把C2的方程化为直角坐标方程为 y=a，因为曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心（1，1），
解得a=1，故C2的直角坐标方程为 y=1．
（Ⅱ）由题意可得，|OA|=2
2
sin(φ+
π
4
)； |OB|=2
2
sin(φ+
π
2
)=2
2
cosφ； |OC|=2
2
sinφ；|OD|=2
2
sin(φ+
3π
4
)=2
2
cos（
π
4
+φ），
∴|OA|•|OC|+|OB|•|OD|=8sin（φ+
π
4
）sinφ+8cos（
π
4
+φ）cosφ=8cos[（
π
4
+φ）-φ]=8×
2
2
=4
2
．
点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，两角和差的余弦公式，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为
x=
1
2
t
y=
2
2
+
3
2
t
（t为参数），若以直角坐标系xoy 的O点为极点，Ox为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ-
π
4
）．直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．
（本题满分14分
A．选修4-4：极坐标与参数方程在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ=
π
3
 （ρ∈R ），以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为
x=2cosα
y=1+cos2α
 （α 参数）．求直线l 和曲线C的交点P的直角坐标．
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A．选修4-1：几何证明选讲
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交于点D．求证：ED2=EB•EC．
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求矩阵M=
-14
26
的特征值和特征向量．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是ρcos(θ+
π
4
)=
3
2
2
和ρsin2θ=4cosθ，直线l与曲线C交于点．A，B，C，求线段AB的长．
D．选修4-5：不等式选讲
对于实数x，y，若|x-1|≤1，|y-2|≤1，求|x-y+1|的最大值．
（2013•辽宁）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（θ-
π
4
）=2
2
．
（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；
（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为
x=t3+a
y=
b
2
t3+1
（t∈R为参数），求a，b的值．
选修4-4：
坐标系与参数方程在平面直角坐标系x0y中，曲线C1为x=acosφ，y=sinφ（1＜a＜6，φ为参数）．
在以0为原点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线C2的方程为ρ=6cosθ，射线ι为θ=α，ι与C1的交点为A，ι与C2除极点外的一个交点为B．当α=0时，|AB|=4．
（1）求C1，C2的直角坐标方程；
（2）若过点P（1，0）且斜率为
3
的直线m与曲线C1交于D、E两点，求|PD|与|PE|差的绝对值．

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