Question

2．已知命题p：函数y=lg（ax²-x+$\frac{1}{2}$）（a≠0）的定义域为R；命题q：指数函数y=（5-2a）^x在R上单调递增，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 若命题p正确，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，解得a范围；若命题q正确，可得5-2a＞1，解得a范围．若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，可得p与q必然一真一假，即可得出．

解答 解：命题p：函数y=lg（ax²-x+$\frac{1}{2}$）（a≠0）的定义域为R，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，解得a$＞\frac{1}{2}$；
命题q：指数函数y=（5-2a）^x在R上单调递增，∴5-2a＞1，解得a＜2．
若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，
∴p与q必然一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞\frac{1}{2}}\\{a≥2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≤\frac{1}{2}}\\{a＜2}\end{array}\right.$，
解得∅，或a$≤\frac{1}{2}$
∴实数a的取值范围是a$≤\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、一元二次方程的实数根与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．