题目内容
已知点列B1（1，y1），B2（2，y2），…，Bn（n，yn），…（n∈N*）顺次为直线y=
上的点，点列A1（x1，0），A2（x2，0），…，An（xn，0），…（n∈N*）顺次为x轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对任意的n∈N*，点An、Bn、An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形．
（1）证明：数列{yn}是等差数列；
（2）求证：对任意的n∈N*，xn+2-xn是常数，并求数列{xn}的通项公式；
（3）对上述等腰三角形AnBnAn+1添加适当条件，提出一个问题，并做出解答．（根据所提问题及解答的完整程度，分档次给分）
| x |
| 4 |
（1）证明：数列{yn}是等差数列；
（2）求证：对任意的n∈N*，xn+2-xn是常数，并求数列{xn}的通项公式；
（3）对上述等腰三角形AnBnAn+1添加适当条件，提出一个问题，并做出解答．（根据所提问题及解答的完整程度，分档次给分）
（1）依题意有yn=
，于是yn+1-yn=
．
所以数列{yn}是等差数列．（4分）
（2）由题意得
=n，即xn+xn+1=2n，（n∈N*） ①
所以又有xn+2+xn+1=2（n+1）．②
由②-①得：xn+2-xn=2，所以xn+2-xn是常数． （6分）
由x1，x3，x5，…；x2，x4，x6，…都是等差数列．x1=a（0＜a＜1），x2=2-a，那么得
x2k-1=x1+2（k-1）=2k+a-2，x2k=x2+2（k-1）=2-a+2（k-1）=2k-a．（k∈N*）（8分）
故xn=
（10分）
（3）提出问题：若等腰三角形AnBnAn+1中，是否有直角三角形，若有，求出实数a．
当n为奇数时，An（n+a-1，0），An+1（n+1-a，0），所以|AnAn+1|=2（1-a）；
当n为偶数时，An（n-a，0），An+1（n+a，0），所以|AnAn+1|=2a；
过Bn作x轴的垂线，垂足为Cn，则|BnCn|=
，要使等腰三角形AnBnAn+1为直角三角形，必须且只须：|AnAn+1|=2|BnCn|．（13分）
当n为奇数时，有2(1-a)=2×
，即a=1-
①
∴当n=1 时，a=
；当 n=3 时，a=
，当n≥5，a＜0不合题意．（15分）
当n为偶数时，有2a=2×
，a=
，同理可求得
当n=2 时 a=
当n≥4时，a＜0不合题意．（17分）
综上所述，使等腰三角形AnBnAn+1中，有直角三角形，a的值为
或
或
．（18分）
| n |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
所以数列{yn}是等差数列．（4分）
（2）由题意得
| xn+xn+1 |
| 2 |
所以又有xn+2+xn+1=2（n+1）．②
由②-①得：xn+2-xn=2，所以xn+2-xn是常数． （6分）
由x1，x3，x5，…；x2，x4，x6，…都是等差数列．x1=a（0＜a＜1），x2=2-a，那么得
x2k-1=x1+2（k-1）=2k+a-2，x2k=x2+2（k-1）=2-a+2（k-1）=2k-a．（k∈N*）（8分）
故xn=
|
（3）提出问题：若等腰三角形AnBnAn+1中，是否有直角三角形，若有，求出实数a．
当n为奇数时，An（n+a-1，0），An+1（n+1-a，0），所以|AnAn+1|=2（1-a）；
当n为偶数时，An（n-a，0），An+1（n+a，0），所以|AnAn+1|=2a；
过Bn作x轴的垂线，垂足为Cn，则|BnCn|=
| n |
| 4 |
当n为奇数时，有2(1-a)=2×
| n |
| 4 |
| n |
| 4 |
∴当n=1 时，a=
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
当n为偶数时，有2a=2×
| n |
| 4 |
| n |
| 4 |
当n=2 时 a=
| 1 |
| 2 |
当n≥4时，a＜0不合题意．（17分）
综上所述，使等腰三角形AnBnAn+1中，有直角三角形，a的值为
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| 4 |
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练习册系列答案
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