题目内容

（2011•蓝山县模拟）已知点列B1（1，b1），B2（2，b2），…，Bn（n，bn），…（n∈N?）顺次为抛物线y=
1
4
x2上的点，过点Bn（n，bn）作抛物线y=
1
4
x2的切线交x轴于点An（an，0），点Cn（cn，0）在x轴上，且点An，Bn，Cn构成以点Bn为顶点的等腰三角形．
（1）求数列{an}，{cn}的通项公式；
（2）是否存在n使等腰三角形AnBnCn为直角三角形，若有，请求出n；若没有，请说明理由．
（3）设数列{
1
an•(
3
2
+cn)
}的前n项和为Sn，求证：
2
3
≤Sn＜
4
3
．
分析：（1）利用导数，求得点Bn（n，bn）作抛物线y=
1
4
x2的切线方程，令y=0，可得an=
n
2
，根据点An，Bn，Cn构成以点Bn为顶点的等腰三角形，可得an+cn=2n，由此可求数列{an}，{cn}的通项公式；
（2）若等腰三角形AnBnCn为直角三角形，则|AnCn|=2bn，由此可知存在n=2，使等腰三角形A2B2C2为直角三角形；
（3）
1
an•(
3
2
+cn)
=
1
n
2
(
3
2
+
3n
2
)
=
1
3
4
n(n+1)
=
4
3
（
1
n
-
1
n+1
），从而可求Sn=
4
3
（1-
1
n+1
），进而可知
2
3
≤Sn＜
4
3
．
解答：（1）解：∵y=
1
4
 x2，∴y′=
x
2
，y′|x=n=
n
2
，
∴点Bn（n，bn）作抛物线y=
1
4
x2的切线方程为：y-
n2
4
=
n
2
（x-n），
令y=0，则x=
n
2
，即an=
n
2
；（3分）
∵点An，Bn，Cn构成以点Bn为顶点的等腰三角形，
∴an+cn=2n，∴cn=2n-an=
3n
2
  （5分）
（2）解：若等腰三角形AnBnCn为直角三角形，则|AnCn|=2bn?
∴n=
n2
2
，∴n=2，
∴存在n=2，使等腰三角形A2B2C2为直角三角形   （9分）
（3）证明：∵
1
an•(
3
2
+cn)
=
1
n
2
(
3
2
+
3n
2
)
=
1
3
4
n(n+1)
=
4
3
（
1
n
-
1
n+1
）（11分）
∴Sn=
4
3
（1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1
）=
4
3
（1-
1
n+1
）＜
4
3

又1-
1
n+1
随n的增大而增大，
∴当n=1时，Sn的最小值为：
4
3
（1-
1
1+1
）=
2
3
，
∴
2
3
≤Sn＜
4
3
（14分）
点评：本题考查导数的几何意义，考查裂项法求数列的和，考查不等式的证明，考查数列与解析几何的综合，属于中档题．
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