已知点列B1(1.y1).B2(2.y2).-.Bn(n.yn).-顺次为直线y=x4上的点.点列A1(x1.0).A2(x2.0).-.An(xn.0).-顺次为x轴上的点.其中x1=a.对任意的n∈N*.点An.Bn.An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形．(1)证明:数列{yn}是等差数列,(2)求证:对任意的n∈N*.xn+2-xn是常数.并求数列{xn}的通项公式,(3)对� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（2009•上海模拟）已知点列B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），…，B_n（n，y_n），…（n∈N*）顺次为直线y=

上的点，点列A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），…，A_n（x_n，0），…（n∈N*）顺次为x轴上的点，其中x₁=a（0＜a＜1），对任意的n∈N*，点A_n、B_n、A_n+1构成以B_n为顶点的等腰三角形．
（1）证明：数列{y_n}是等差数列；
（2）求证：对任意的n∈N*，x_n+2-x_n是常数，并求数列{x_n}的通项公式；
（3）对上述等腰三角形A_nB_nA_n+1添加适当条件，提出一个问题，并做出解答．（根据所提问题及解答的完整程度，分档次给分）

分析：（1）根据B_n（n，y_n）在直线y=

上可得yn=

，然后根据等差数列的定义可知数列{y_n}是等差数列；
（2）由题意得

xn+xn+1

=n，则x_n+x_n+1=2n，根据递推关系又有x_n+2+x_n+1=2（n+1）两式作差可得x_n+2-x_n是常数，从而x₁，x₃，x₅，…；x₂，x₄，x₆，…都是等差数列，即可求出数列{x_n}的通项公式；
（3）提出问题：若等腰三角形A_nB_nA_n+1中，是否有直角三角形，若有，求出实数a．讨论n的奇偶，求出|A_nA_n+1|，过B_n作x轴的垂线，垂足为C_n，则|BnCn|=

，要使等腰三角形A_nB_nA_n+1为直角三角形，必须且只须：|A_nA_n+1|=2|B_nC_n|，从而求出a的值．

解答：解：（1）依题意有yn=

，于是yn+1-yn=

．
所以数列{y_n}是等差数列．（4分）
（2）由题意得

xn+xn+1

=n，即x_n+x_n+1=2n，（n∈N^*） ①
所以又有x_n+2+x_n+1=2（n+1）．②
由②-①得：x_n+2-x_n=2，所以x_n+2-x_n是常数．　　　　　　　（6分）
由x₁，x₃，x₅，…；x₂，x₄，x₆，…都是等差数列．x₁=a（0＜a＜1），x₂=2-a，那么得
x_2k-1=x₁+2（k-1）=2k+a-2，x_2k=x₂+2（k-1）=2-a+2（k-1）=2k-a．（k∈N^*）（8分）
故xn=