Question

已知点列B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），…，B_n（n，y_n），…（n∈N*）顺次为直线y=

x

4

上的点，点列A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），…，A_n（x_n，0），…（n∈N*）顺次为x轴上的点，其中x₁=a（0＜a＜1），对任意的n∈N*，点A_n、B_n、A_n+1构成以B_n为顶点的等腰三角形．
（Ⅰ）求证：对任意的n∈N*，x_n+2-x_n是常数，并求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅱ）问是否存在等腰直角三角形A_nB_nA_n+1？请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由点A_n、B_n、A_n+1构成以B_n为顶点的等腰三角形，则有|A_nB_n|=|A_n+1B_n|得到x_n+1+x_n=2n，从而有x_n+2+x_n+1=2（n+1）两式作差求解．
（Ⅱ）假设存在等腰直角三角形A_nB_nA_n+1，．在Rt△A_nB_nA_n+1中，|AnAn+1|=|xn+1-xn|=2×

n

4

=

n

2

．由n为正奇数时，|x_n+1-x_n|=2（1-a），故有2(1-a)=2×

n

4

，即1-a=

n

4

即0＜n＜4．n=1，3使得三角形A_nB_nA_n+1为等腰直角三角形．当n为正偶数时，|x_n+1-x_n|有2a=2×

n

4

，即a=

n

4

，当n=2时，使得三角形A_nB_nA_n+1为等腰直角三角形．

解答：解：（Ⅰ）由题意得Bn(n，

n

4

)，A_n（x_n，0），A_n+1（x_n+1，0），
∵点A_n、B_n、A_n+1构成以B_n为顶点的等腰三角形，
∴|A_nB_n|=|A_n+1B_n|，即

(xn-n)2+( n 4 )2

=

(xn+1-n)2+( n 4 )2

得x_n²-2nx_n=x_n+1²-2nx_n+1?（x_n+1-x_n）（x_n+1+x_n）=2n（x_n+1-x_n）
又∵x_n+1≠x_n，∴x_n+1+x_n=2n，①
则x_n+2+x_n+1=2（n+1）②
由②-①得，x_n+2-x_n=2，即x_n+2-x_n是常数．（6分）
即所列{x_2k-1}，{x_2k}（k∈N^*）都是等差数列．
（注：可以直接由图象得到

xn+xn+1

2

=n，即x_n+x_n+1=2n，（n∈N^*））
当n为正奇数时，xn=x1+(

n+1

2

-1)×2=a+n-1，
当n为正偶数时，由x₂+x₁=2得，x₂=2-a，故xn=x2+(

n

2

-1)×2=n-a，
∴xn=

a+n-1，(n为正奇数) n-a，(n为正偶数)

．（8分）
（Ⅱ）假设存在等腰直角三角形A_nB_nA_n+1，由题意∠A_nB_nA_n+1=90°．
在Rt△A_nB_nA_n+1中，|AnAn+1|=|xn+1-xn|=2×

n

4

=

n

2

．（10分）
当n为正奇数时，x_n=a+n-1，x_n+1=n+1-a，
∴|x_n+1-x_n|=|n+1-a-a-n+1|=|2-2a|=2（1-a），故有2(1-a)=2×

n

4

，即1-a=

n

4

，
又∵0＜a＜1，∴0＜1-a＜1，∴0＜

n

4

＜1，即0＜n＜4，
∴当n=1，3时，使得三角形A_nB_nA_n+1为等腰直角三角形．（12分）
当n为正偶数时，x_n=n-a，x_n+1=a+n+1-1=a+n，
∴|x_n+1-x_n|=|a+n-n+a|=|2a|=2a，故有2a=2×

n

4

，即a=

n

4

，
又∵0＜a＜1，∴0＜

n

4

＜1，即0＜n＜4，
∴当n=2时，使得三角形A_nB_nA_n+1为等腰直角三角形．（14分）
综上所述，当n=1，2，3时，使得三角形A_nB_nA_n+1为等腰直角三角形．（16分）

点评：本题主要考查解析几何与数列的综合问题，涉及到求数列的通项公式，两点间的距离公式以及分类讨论，数形结合等思想．