题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,侧面底面,,,为的中点,点在侧棱上.
(1)求证:;.
(2)若是的中点,求二面角的余弦值;
(3)若,当平面时,求的值.
【答案】(1)见解析;(2);(3).
【解析】分析:(1)先利用等腰三角形的“三线合一”和面面垂直的性质得到线面垂直,再利用菱形的对角线垂直得到线线垂直,进而建立空间直角坐标系,利用两直线的方向向量数量积为0进行求解;(2)先求出两平面的法向量,再利用法向量的夹角公式进行证明;(3)利用三点共线设出的坐标,分别求出平面的法向量和直线的方向向量,利用两向量数量积为0进行求解.
详解:(1)取的中点,连结,,,
∵ , ∴ ,
∵ 侧面底面, 平面平面 ,
∴ 底面,
∵ 底面是菱形,,
∴ ,,
以为原点,分别以,,方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系,
由题意可得,,,,,,,,,
∵ ,∴ .
(2)由题意,,
设平面的一个法向量,,,
由,即,
令,,,所以,
又平面的一个法向量,
由,
右图可知,二面角为锐角,所以余弦值为.
(3)∵ ,,
易得,
设平面的一个法向量,
,,
由,即,
取,得,
又,
∵ 平面,∴ ,
即,得,
所以当时,平面.
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