题目内容
【题目】已知数列,若对任意的
,
,
,存在正数
使得
,则称数列
具有守恒性质,其中最小的
称为数列
的守恒数,记为
.
(1)若数列是等差数列且公差为
,前
项和记为
.
①证明:数列具有守恒性质,并求出其守恒数.
②数列是否具有守恒性质?并说明理由.
(2)若首项为1且公比不为1的正项等比数列具有守恒性质,且
,求公比
值的集合.
【答案】(1)①见解析,.②数列
不具有守恒性质.见解析(2)
【解析】
(1)①运用等差数列的通项公式和数列具有守恒性质可得结论;
②数列不具有守恒性质,运用等差数列的求和公式和不等式的性质可得结论;
(2)讨论,
,由等比数列的通项公式和不等式的性质,构造数列,运用单调性,即可得到所求范围.
解:(1)①因为是等差数列且公差为
,所以
,
所以对任意,
,
恒成立,
所以数列具有守恒性质,且守恒数
.
②假设数列具有守恒性质,因为
,所以存在实数
,
.
若,则当
时,
,矛盾;
若,则当
时,
,矛盾.
所以数列不具有守恒性质.
(2)显然且
,因为
,所以
.
因为数列具有守恒性质,
所以对任意,
,存在正数
使得
,
即存在正数,
对任
,
都成立.
(i)若,等比数列
递增,不妨设
,则
,
即,
设,由
式中的
,
任意性可知,数列
不递增,
所以对任意
恒成立.
而当,
,
所以不符题意.
(ii)若,则数列
单调递减,不妨设
,则
,
即,
设,由
式中的
,
任意性可知,数列
不递减,
所以对任意
恒成立,
所以对任意
恒成立,
显然,当,
时,
单调递减,
所以当时,
取得最大值
,
所以.
又,故
,即
.
综上所述,公比的取值集合为
.
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