题目内容

【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1:2x2﹣y2=1.
(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积;
(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点,若l与圆x2+y2=1相切,求证:OP⊥OQ;
(3)设椭圆C2:4x2+y2=1,若M、N分别是C1、C2上的动点,且OM⊥ON,求证:O到直线MN的距离是定值.

【答案】
(1)解:双曲线C1 左顶点A(﹣ ),

渐近线方程为:y=± x.

过A与渐近线y= x平行的直线方程为y= (x+ ),即y=

所以 ,解得

所以所求三角形的面积为S=


(2)解:设直线PQ的方程为y=kx+b,

因直线PQ与已知圆相切,故

即b2=2,由

得x2﹣2bx﹣b2﹣1=0,

设P(x1,y1),Q(x2,y2),则

又y1y2=(x1+b)(x2+b).

所以 =x1x2+y1y2=2x1x2+b(x1+x2)+b2

=2(﹣1﹣b2)+2b2+b2

=b2﹣2=0.

故PO⊥OQ.


(3)解:当直线ON垂直x轴时,|ON|=1,|OM|= ,则O到直线MN的距离为

当直线ON不垂直x轴时,设直线ON的方程为:y=kx,(显然|k|> ),

则直线OM的方程为y= ,由

所以

同理

设O到直线MN的距离为d,

因为(|OM|2+|ON|2)d2=|OM|2|ON|2

所以 = =3,

即d=

综上,O到直线MN的距离是定值.


【解析】(1)求出双曲线的渐近线方程,求出直线与另一条渐近线的交点,然后求出三角形的面积.(2)设直线PQ的方程为y=kx+b,通过直线PQ与已知圆相切,得到b2=2,通过求解 =0.证明PO⊥OQ.(3)当直线ON垂直x轴时,直接求出O到直线MN的距离为 .当直线ON不垂直x轴时,设直线ON的方程为:y=kx,(显然|k|> ),推出直线OM的方程为y= ,利用 ,求出 ,设O到直线MN的距离为d,通过(|OM|2+|ON|2)d2=|OM|2|ON|2 , 求出d= .推出O到直线MN的距离是定值.

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