题目内容
【题目】已知函数
，
，
，
为自然对数的底数.
（Ⅰ）若函数
在
上存在零点，求实数
的取值范围；
（Ⅱ）若函数
在
处的切线方程为
.求证：对任意的
，总有
.
【答案】（Ⅰ）
.
（Ⅱ）见解析.
【解析】分析：（Ⅰ）首先利用导数判断函数的单调性，然后由此求出函数的最小值，只要最小值小于0即可求出实数
的取值范围；（Ⅱ）首先由条件得出
的值确定函数解析式，然后由
得到
，最后构造前后两个函数，验证前一个函数的最小值大于后一个函数的最大值。
详解：（Ⅰ）易得
.
若
，有
，不合题意；
若
，有
，
，满足题设；
若
，令
，得
∴
在
上单调递减；在
单调递增，
则
，∴
.
又满足题设，
综上所述，所求实数
.
（Ⅱ）证明：易得，
，
则由题意，得
，解得
.
∴
，从而
，即切点为
.
将切点坐标代入
中，解得. ∴
.
要证
，即证（
，
只需证 ）.
令
，
.
则由
，得
，
∴
在
上单调递减；在
上单调递增，
∴
.
又由
，得
∴
在
上单调递增；在
上单调递减，
∴
.
∴
，
显然，上式的等号不能同时取到.
故对任意的，总有.
【题目】通过随机询问110名性别不同的中学生是否爱好运动，得到如下的列联表：
男 | 女 | 总计 | |
爱好 | 40 | 20 | 60 |
不爱好 | 20 | 30 | 50 |
总计 | 60 | 50 | 110 |
由
得，
| 0．050 | 0．010 | 0．001 |
| 3．841 | 6．635 | 10．828 |
参照附表，得到的正确结论是 （ ）
A. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“爱好运动与性别有关”
B. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为 “爱好运动与性别有关”
C. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“爱好运动与性别无关”
D. 有
以上的把握认为“爱好运动与性别无关”
【题目】某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的
列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为
．
优秀 | 非优秀 | 合计 | |
甲班 | 10 | ||
乙班 | 30 | ||
合计 | 110 |
（1）请完成上面的列联表；
（2）根据列联表的数据，若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；
（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到9号或10号的概率．
参考公式及数据：
，
．
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