Question

【题目】已知椭圆x2+4y2=4，直线l：y=x+m
（1）若l与椭圆有一个公共点，求m的值；
（2）若l与椭圆相交于P、Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：把直线y=x+m代入椭圆方程得：x2+4（x+m）2=4，即：5x2+8mx+4m2﹣4=0，

△=（8m）2﹣4×5×（4m2﹣4）=﹣16m2+80=0

解得：m=

（2）解：设该直线与椭圆相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1，x2是方程5x2+8mx+4m2﹣4=0的两根，

由韦达定理可得：x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

∴|AB|= = = =2；

∴m=±

【解析】（1）将直线的方程y=x+m与椭圆的方程x2+4y2=4联立，得到5x2+2mx+m2﹣1=0，利用△=0，即可求得m的取值范围；（2）利用两点间的距离公式，再借助于韦达定理即可得到：两交点AB之间的距离，列出|AB|=2，从而可求得m的值．