Question

（本小题满分14分）

(1)已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若m+n=s+t(m,n,s,t∈N^*，且m≠n,s≠t)，证明；= ；

(2)注意到(1)中S_n与n的函数关系，我们得到命题：设抛物线x²=2py(p>0)的图像上有不同的四点A，B，C，D，若x_A，x_B，x_C，x_D分别是这四点的横坐标，且x_A+x_B=x_C+x_D，则AB∥CD，判定这个命题的真假，并证明你的结论

(3)我们知道椭圆和抛物线都是圆锥曲线，根据(2)中的结论，对椭圆+ =1(a>b>0)提出一个有深度的结论，并证明之.

 

Answer 1

【答案】

见解析

【解析】（1）利用等差数列的前N项公式易证等式成立；（2）根据平行得出斜率相等，再利用两点的斜率公式推导式子成立；（3）在椭圆中利用设而不求点差法的思想得出两点斜率的关系式，从而利用斜率相等得出两直线平行

（1）设等差数列的公差为

，

同理：，，

；…………3分

（2）设的斜率分别为，则，，

，，即；……………………………………6分

（3）A类卷：能提出有深度的问题，并能严格证明，满分8分，如：

设椭圆图像上有不同的四点，若线段的中点连线经过原点，则.

证明：设：，线段的中点不在坐标轴上，且它们的连线经过原点，则，

又，，，

则：，

，

所以：，即；

又当中点在坐标轴上时，同时垂直这条坐标轴，成立.

B类卷：能模仿（2）提出问题，并能严格证明，满分6分，如：

椭圆图像上有不同的四点，设它们的坐标分别是

，若，则.

证明：设：，又，，

，

当

则：，

，

所以：，即.

当时，同时垂直轴，成立.

C类卷：简单模仿（2）提出问题，且不能证明，满分2分

椭圆图像上有四点，设它们的坐标分别是

，若，则.