题目内容
【题目】已知椭圆的左、右焦点为
.过
作直线
交椭圆
于
,过
作直线
交椭圆
于
,且
垂直
于点
.
(Ⅰ)证明:点在椭圆
内部;
(Ⅱ)求四边形面积的最小值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】分析:
(Ⅰ)由可求得
,从而椭圆标准方程,再由已知求出
点轨迹方程为
,而此圆在题设椭圆内部,因此可证P点在椭圆内部;
(Ⅱ)分类讨论,当斜率不存在时,可求出四边形ABCD的面积,同理当
斜率不0时,
与刚才一样,当斜率存在且不为0时,设
方程为
,这样就有
方程为
,设
,利用圆锥曲线中的弦长公式
求得弦长
,同理可得弦长
,于是可得面积
为
的函数,利用函数的知识可求得
的最小值,从而得出结论.
详解:
(Ⅰ)由题意得,故
,所以椭圆方程为
.
由于分别为过两焦点
, 且垂直相交于点
,则
的轨迹为以
为直径的圆,
即的轨迹方程为
,
又因为,所以点
在椭圆内部.
(Ⅱ)①当斜率不存在时,直线
的方程为
, 此时直线
的方程为
,
此时四边形的面积为
.
同时当斜率为0时,此时
的斜率不存在,易得
.
②当斜率存在且不为0时,设直线
方程为
,直线
方程为
,
设,联立
,消去
整理得
,
所以,
所以.
同理得
则
令,则
即当,即
时,
综合上式①②可得,当时,
.
求最值的其它方法: ,令
,得
,
因为,当
时,
,且
是以
为自变量的增函数,所以
.
综上可知, . 即四边形
面积的最小值为
.
方法二:①当斜率为0,此时直线
轴,此时四边形
的面积为
.
同时当斜率为0时,此时
轴,易得
.
②当斜率存在且不为0时,设直线
方程为
,直线
方程为
,
设,联立
,消去
整理得
,
所以,
所以.
同理得
则
下同解法一.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】随着网络的飞速发展,人们的生活发生了很大变化,其中无现金支付是一个显著特征,某评估机构对无现金支付的人群进行网络问卷调查,并从参与调查的数万名受访者中随机选取了300人,把这300人分为三类,即使用支付宝用户、使用微信用户、使用银行卡用户,各类用户的人数如图所示,同时把这300人按年龄分为青年人组与中年人组,制成如图所示的列联表:
支付宝用户 | 非支付宝用户 | 合计 | |
中老年 | 90 | ||
青年 | 120 | ||
合计 | 300 |
(1) 完成列联表,并判断是否有99%的把握认为使用支付宝用户与年龄有关系?
(2)把频率作为概率,从所有无现金支付用户中(人数很多)随机抽取3人,用表示所选3人中使用支付宝用户的人数,求
的分布列与数学期望.
附:
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
,其中
.
【题目】世界那么大,我想去看看,处在具有时尚文化代表的大学生们旅游动机强烈,旅游可支配收入日益增多,可见大学生旅游是一个巨大的市场.为了解大学生每年旅游消费支出(单位:百元)的情况,相关部门随机抽取了某大学的名学生进行问卷调查,并把所得数据列成如下所示的频数分布表:
组别 | |||||
频数 |
(Ⅰ)求所得样本的中位数(精确到百元);
(Ⅱ)根据样本数据,可近似地认为学生的旅游费用支出服从正态分布
,若该所大学共有学生
人,试估计有多少位同学旅游费用支出在
元以上;
(Ⅲ)已知样本数据中旅游费用支出在范围内的
名学生中有
名女生,
名男生,现想选其中
名学生回访,记选出的男生人数为
,求
的分布列与数学期望.
附:若,则
,
,
.