题目内容
（2005•朝阳区一模）已知
=(cosα，sinα)，
=(cosβ，sinβ)，0＜α＜β＜π
（I）求|
|的值；
（II）求证：
+
与
-
互相垂直；
（III）设|k
+
|=|
-k
|，k∈R且k≠0，求β-α的值．
| a |
| b |
（I）求|
| a |
（II）求证：
| a |
| b |
| a |
| b |
（III）设|k
| a |
| b |
| a |
| b |
分析：（I）由
=(cosα，sinα)，能求出|
|的值．
（II）由（
+
）•（
-
）=（cosα+cosβ）（cosα-cosβ）+（sinα+sinβ）（sinα-sinβ）=0，能证明（
+
）⊥（
-
）．
（III）由k
+
=(kcosαβ，ksinα+sinβ)，
-k
=（cosα-kcosβ，sinα-ksinβ）和|k
+
|=|
-k
|，能够求出β-α=
．
| a |
| a |
（II）由（
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（III）由k
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| π |
| 2 |
解答：解：（I）解：∵
=(cosα，sinα)，
∴|
| =
=1．（3分）
（II）证明：∵（
+
）•（
-
）
=（cosα+cosβ）（cosα-cosβ）+（sinα+sinβ）（sinα-sinβ）（6分）
=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β
=0，
∴（
+
）⊥（
-
）．（8分）
（III）解：∵k
+
=(kcosαβ，ksinα+sinβ)，
∴
-k
=（cosα-kcosβ，sinα-ksinβ），（10分）
∴|k
+
| =
=
，（12分）
|
-k
| =
=
，
∵|k
+
|=|
-k
|，
∴
=
，
整理，得2kcos（β-α）=-2kcos（β-α）
又k≠0，∴cos（β-α）=0
∵0＜α＜β＜π，
∴0＜β-α＜π，
∴β-α=
．（14分）
| a |
∴|
| a |
| cos2α+sin2α |
（II）证明：∵（
| a |
| b |
| a |
| b |
=（cosα+cosβ）（cosα-cosβ）+（sinα+sinβ）（sinα-sinβ）（6分）
=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β
=0，
∴（
| a |
| b |
| a |
| b |
（III）解：∵k
| a |
| b |
∴
| a |
| b |
∴|k
| a |
| b |
| (kcosα+cosβ)2+(ksinα+sinβ)2 |
=
| k2+1+2kcos(β-α) |
|
| a |
| b |
| (cosα-kcosβ)2+(sinα-ksinβ)2 |
=
| 1-2kcos(β-α)+k2 |
∵|k
| a |
| b |
| a |
| b |
∴
| k2+1+2kcos(β-α) |
| 1-2kcos(β-α)+k2 |
整理，得2kcos（β-α）=-2kcos（β-α）
又k≠0，∴cos（β-α）=0
∵0＜α＜β＜π，
∴0＜β-α＜π，
∴β-α=
| π |
| 2 |
点评：本题考查向量的模的求法，求证：
+
与
-
互相垂直和求β-α的值．综合性强，较繁琐，容易出错．解题时要认真审题，注意三角函数恒等变换的灵活运用．
| a |
| b |
| a |
| b |
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