题目内容

(2005•朝阳区一模)已知
a
=(cosα,sinα),
b
=(cosβ,sinβ),0<α<β<π

(I)求|
a
|
的值;
(II)求证:
a
+
b
a
-
b
互相垂直;
(III)设|k
a
+
b
|=|
a
-k
b
|,k∈R
且k≠0,求β-α的值.
分析:(I)由
a
=(cosα,sinα)
,能求出|
a
|
的值.
(II)由(
a
+
b
)•(
a
-
b
)=(cosα+cosβ)(cosα-cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα-sinβ)=0,能证明(
a
+
b
)⊥(
a
-
b
).
(III)由k
a
+
b
=(kcosαβ,ksinα+sinβ)
a
-k
b
=(cosα-kcosβ,sinα-ksinβ)和|k
a
+
b
|=|
a
-k
b
|,能够求出β-α=
π
2
解答:解:(I)解:∵
a
=(cosα,sinα)

|
a
| =
cos2α+sin2α
=1
.(3分)
(II)证明:∵(
a
+
b
)•(
a
-
b

=(cosα+cosβ)(cosα-cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα-sinβ)(6分)
=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β
=0,
∴(
a
+
b
)⊥(
a
-
b
).(8分)
(III)解:∵k
a
+
b
=(kcosαβ,ksinα+sinβ)

a
-k
b
=(cosα-kcosβ,sinα-ksinβ),(10分)
|k
a
+
b
|  =
(kcosα+cosβ)2+(ksinα+sinβ)2

=
k2+1+2kcos(β-α)
,(12分)
|
a
-k
b
|  =
(cosα-kcosβ)2+(sinα-ksinβ)2

=
1-2kcos(β-α)+k2

∵|k
a
+
b
|=|
a
-k
b
|,
k2+1+2kcos(β-α)
=
1-2kcos(β-α)+k2

整理,得2kcos(β-α)=-2kcos(β-α)
又k≠0,∴cos(β-α)=0
∵0<α<β<π,
∴0<β-α<π,
β-α=
π
2
.(14分)
点评:本题考查向量的模的求法,求证:
a
+
b
a
-
b
互相垂直和求β-α的值.综合性强,较繁琐,容易出错.解题时要认真审题,注意三角函数恒等变换的灵活运用.
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