题目内容
7.已知△ABC的内角∠A、∠B、∠C所对的边为a、b、c,则“ab>c2”是“∠C<$\frac{π}{3}$”的充分非必要条件.(填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中的一种).分析 由充分必要条件的定义和三角形的余弦定理,结合基本不等式,即可得到结论.
解答 解:由ab>c2可得a2+b2≥2ab>2c2,
即有cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$≥1-$\frac{{c}^{2}}{2ab}$>$\frac{1}{2}$,
由C为三角形的内角,
则有0<C<$\frac{π}{3}$;
由∠C<$\frac{π}{3}$,则cosC>$\frac{1}{2}$,
由余弦定理可得$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$>$\frac{1}{2}$,
(a-b)2-c2>-ab,
即为c2-ab<(a-b)2,
则推不出c2-ab<0,
即有“ab>c2”是“∠C<$\frac{π}{3}$”的充分非必要条件.
故答案为:充分非必要.
点评 本题考查解三角形的余弦定理,同时考查充分必要条件的判断,属于基础题.
练习册系列答案
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A. | 0.9988 | B. | 0.9999 | C. | 1.0001 | D. | 2.0002 |
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A. | -3+4i | B. | -3-4i | C. | 3+4i | D. | 3-4i |