题目内容
数列{an}中，a1=2，an+1=
an（n∈N*）．
（Ⅰ）令bn=
，求证数列{bn}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．
（Ⅰ）证明：∵an+1=an，∴
∵bn=，∴
=2，∴数列{bn}是等比数列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知
=2n，∴
∴Sn=1×21+2×22+…+n•2n①
∴2Sn=1×22+…+（n-1）•2n+n•2n+1②
①-②：-Sn=21+22+…+2n-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1
∴Sn=（n-1）•2n+1+2．
分析：（Ⅰ）将数列递推式变形，结合bn=，即可证得数列{bn}是等比数列；
（Ⅱ）利用错位相减法，可求数列{an}的前n项和Sn．
点评：本题考查等比数列的证明，考查错位相减法，考查学生的计算能力，属于中档题．
an，∴∵bn=
，∴=2，∴数列{bn}是等比数列；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知
=2n，∴∴Sn=1×21+2×22+…+n•2n①
∴2Sn=1×22+…+（n-1）•2n+n•2n+1②
①-②：-Sn=21+22+…+2n-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1
∴Sn=（n-1）•2n+1+2．
分析：（Ⅰ）将数列递推式变形，结合bn=
，即可证得数列{bn}是等比数列；（Ⅱ）利用错位相减法，可求数列{an}的前n项和Sn．
点评：本题考查等比数列的证明，考查错位相减法，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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数列{an}中，a1=
，an+an+1=
，n∈N*，则
（a1+a2+…+an）等于（ ）
| 1 |
| 5 |
| 6 |
| 5n+1 |
| lim |
| n→∞ |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|