Question

【题目】过椭圆E：1（a＞b＞0）上一动点P向圆O：x2+y2＝b2引两条切线PA，PB，切点分别是A，B．直线AB分别与x轴，y轴交于点M，N（O为坐标原点）．

（1）若在椭圆E上存在点P，满足PA⊥PB，求椭圆E的离心率的取值范围；

（2）求证：在椭圆E内，存在一点C满足|CO|＝|CA|＝|CP|＝|CB|；

（3）若椭圆E的短轴长为2，△MON面积的最小值为，求椭圆E的方程．

Answer 1

【答案】（1）[，1）；（2）见解析（3）．

【解析】

（1）由题意可知，又由，得，因为，列出不等式求解即可得到本题答案；

（2）当点C为OP得中点时，由直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到点C符合题意；

（3）由题意可知，设出点P坐标，求出以为直径的圆的方程，与圆O的方程相减得过切点的直线方程，再求出点的坐标，进而求出，再求出点O到直线MN的距离d，所以，再结合点P在椭圆上以及基本不等式，得到，从而求得，即可得到本题答案.

（1）∵，∴，

又∵，∴，

∵，∴，∴，

又∵，∴，即，

∴，∴，

∴椭圆E的离心率的取值范围为：；

（2）证明：当点C为OP的中点时，

∵直线PA与直线PB都和圆O相切，

∴都是直角三角形，

∴，∴，

故在椭圆E内，存在一点C满足；

（3）由题意可知，设点，

∴以为直径的圆的方程为，与圆O的方程相减得：，

∴过切点的直线方程为：，

令得，，∴；令得，，∴，

∴，

∵点O到直线MN的距离，

∴，

∵点P在椭圆上，

∴，当且仅当时取等号，

∴，

∴，∴，∴，

∴椭圆E的方程为：．