题目内容
已知数列{an}满足：a1=3，an=2an-1+2n-1（n∈N*，n≥2），且存在实数λ使得{
}为等差数列，则{an}的通项公式是an=
| an+λ | 2n |
n•2n+1
n•2n+1
．分析：先假设存在一个实数λ符合题意，得到
-
必为与n无关的常数，整理
-
即可求出实数λ，进而求出数列{an}的通项公式．
| an+λ |
| 2n |
| an-1+λ |
| 2n-1 |
| an+λ |
| 2n |
| an-1+λ |
| 2n-1 |
解答：解：假设存在一个实数λ符合题意，则
-
必为与n无关的常数
∵
-
=
=
=1-
①
要使
-
是与n无关的常数，则
=0，得λ=-1
故存在一个实数λ=-1，使得数列{
}为等差数列
由①知数列{
}的公差d=1，
∴
=
+（n-1）•1=n．
得an=n•2n+1
故答案为：n•2n+1．
| an+λ |
| 2n |
| an-1+λ |
| 2n-1 |
∵
| an+λ |
| 2n |
| an-1+λ |
| 2n-1 |
| an-2an-1-λ |
| 2n |
| 2n-1-λ |
| 2n |
| 1+λ |
| 2n |
要使
| an+λ |
| 2n |
| an-1+λ |
| 2n-1 |
| 1+λ |
| 2n |
故存在一个实数λ=-1，使得数列{
| an+λ |
| 2n |
由①知数列{
| an+λ |
| 2n |
∴
| an-1 |
| 2n |
| a1-1 |
| 21 |
得an=n•2n+1
故答案为：n•2n+1．
点评：本题主要考查数列递推关系式的应用以及等差关系的确定．解决问题的关键在于由数列{
}为等差数列，得到
-
必为与n无关的常数，进而求出对应实数λ的值．
| an+λ |
| 2n |
| an+λ |
| 2n |
| an-1+λ |
| 2n-1 |
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