Question

过抛物线y²=4x的顶点O作相互垂直的弦OA、OB,求抛物线顶点O在AB上的影射M的轨迹方程.

Answer 1

解:设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),代入抛物线方程并作差得,

∴直线AB的方程l_AB:y-y₁=(x-x₁),

注意到y₁²=4x₁,y₁y₂=-16(∵k_OA?k_OB=-1,

∴,

即得(y₁+y₂)y+16=4x.

又直线OM的方程为,

由x²+y²-4x=0(x≠0)即为所求的轨迹方程.

启示:由(*)消去y₁+y₂所得方程为所求,是因为,由(*)解出x、y(用y₁+y₂作已知),得到的是点M的坐标,而点M的坐标的关系式(即消去y₁+y₂得x、y的关系)为动点M的轨迹方程,显然这样做与直接过渡其关系式是一样的.另外本题还可以设OA的斜率为k,类似于上面的方法求M的轨迹方程.