题目内容
已知
=(cosα，sinα)，
=(cosβ，sinβ)，
=(sinβ-sinα，cosβ-cosα)，0＜α＜β＜π，若＜
，
＞=
且
⊥
，求α的值．
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| π |
| 3 |
| a |
| c |
分析：通过
与
的数量积，推出α，β的关系，然后利用
⊥
，得到α，β的关系，然后求解α的值即可．
| a |
| b |
| a |
| c |
解答：解：cos
=
=cos（β-α）
∵0＜β-α＜π
∴β-α=
⊥
⇒sin(α+β)=sin2α
∵β=α+
∴sin（α+β）=sin（2α+
）=sin2α
⇒sin（2α-
）=0
0＜α＜β＜π⇒0＜2β＜2π
⇒2α-
=2(β-
)-
=2β-π
⇒-
＜2α-
＜π
⇒2α-
=0⇒α=
．
| π |
| 3 |
| ||||
|
|
∵0＜β-α＜π
∴β-α=
| π |
| 3 |
| a |
| c |
∵β=α+
| π |
| 3 |
∴sin（α+β）=sin（2α+
| π |
| 3 |
⇒sin（2α-
| π |
| 3 |
0＜α＜β＜π⇒0＜2β＜2π
⇒2α-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
⇒-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
⇒2α-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
点评：本题通过向量的数量积，向量的垂直求出推出角的大小，考查方程思想和计算能力．
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