题目内容

已知
a
=(cosα，sinα)，
b
=(cosβ，sinβ)，其中0＜α＜β＜π．
（1）求证：
a
+
b
与
a
-
b
互相垂直；
（2）若k
a
+
.
b
与
a
-k
.
b
的长度相等，求α-β的值（k为非零的常数）．
分析：（1）求出(
a
+ 
b
)• (
a
-
b
)，利用两向量的数量积为0两向量垂直得证．
（2）求出两个向量的坐标，利用向量模的坐标公式求出两个向量的模，列出方程，化简求出三角函数值，求出角．
解答：（1）证明：∵(
a
+
b
)•(
a
-
b
)=
a
2-
b
2=(cos2α+sin2α)-(cos2β+sin2β)=0
∴
a
+
b
与
a
-
b
互相垂直
（2）解：k
a
+
b
=（kcosα+cosβ，ksinα+sinβ）；
a
-k
b
=（cosα-kcosβ，sinα-ksinβ）
|k
a
+
b
|=
k2+1+2kcos(β-α)

|
a
-k
b
|=
k2+1-2kcos(β-α)

而
k2+1+2kcos(β-α)
=
k2+1+2kcos(β-α)

cos（β-α）=0，
α-β=-
π
2
点评：本题考查向量垂直的充要条件、向量模的坐标公式、向量与三角函数结合是高考常出现的题型．
练习册系列答案
相关题目
（2008•静安区一模）（文）已知
a
=(cosα，3sinα)，
b
=(3cosβ，sinβ)，(0＜β＜α＜
π
2
)是平面上的两个向量．
（1）试用α、β表示
a
•
b
；
（2）若
a
•
b
=
36
13
，且cosβ=
4
5
，求α的值（结果用反三角函数值表示）
已知
a
=(cosθ，sinθ)，
b
=(cosα，sinα)，则下列说法不正确的是（　　）
已知
a
=
cosωx，sinωx
，
b
=
cosωx+
3
sinωx，
3
cosωx-sinωx
（ω＞0），函数f(x)=
a
•
b
的最小正周期为π
（1）求函数f（x）的单调递减区间及对称中心；
（2）求函数f（x）在区间
π
4
，
π
2
上的最大值与最小值．
（2005•朝阳区一模）已知
a
=(cosα，sinα)，
b
=(cosβ，sinβ)，0＜α＜β＜π
（I）求|
a
|的值；
（II）求证：
a
+
b
与
a
-
b
互相垂直；
（III）设|k
a
+
b
|=|
a
-k
b
|，k∈R且k≠0，求β-α的值．

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