题目内容

已知
a
=
cosωx，sinωx
，
b
=
cosωx+
3
sinωx，
3
cosωx-sinωx
（ω＞0），函数f(x)=
a
•
b
的最小正周期为π
（1）求函数f（x）的单调递减区间及对称中心；
（2）求函数f（x）在区间
π
4
，
π
2
上的最大值与最小值．
分析：（1）运用向量的数量积的坐标表示，写出函数f（x）的表达式，然后化积为y=2sin（2ωx+
π
6
），根据周期为π求出ω的值，解析式可求，因为得到的函数是复合函数，且内层为增函数，所以直接让正弦函数符号后面的代数式属于正弦函数的减区间求解x的范围，对称中心就是函数f（x）的图象与x轴的交点；
（2）根据x∈[
π
4
，
π
2
]，求出相位的范围，则最值可求．
解答：解：（1）f（x）=cocωx（cosωx+
3
sinωx）+sinωx（
3
cosωx-sinωx）
=cos2ωx-sin2ωx+2
3
sinωxcosωx
=cos2ωx+
3
sin2ωx
=2sin（2ωx+
π
6
）
所以，ω=1．
所以f（x）=2sin（2x+
π
6
）．
由
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
≤
3π
2
+2kπ，∈Z
得
π
6
+kπ≤x≤
2π
3
+kπ，k∈Z
所以，f（x）的单调减区间为[
π
6
+kπ，
2π
3
+kπ]，(k∈Z)
由2x+
π
6
=kπ，得x=-
π
12
+
kπ
2
，k∈Z
所以，对称中心为(-
π
12
+
kπ
2
，0)，k∈Z
（2）因为
π
4
≤x≤
π
2
，
2π
3
≤2x+
π
6
≤
7π
6

所以-1≤2sin（2x+
π
6
）≤
3
．
所以函数f（x）在区间
π
4
，
π
2
上的最大值为
3
，最小值为-1．
点评：本题考查了平面向量的数量积运算及两角差的正弦函数，解答的关键是写出数量积的坐标表示，然后正确化积，最后化为y=Asing（ωx+Φ）的形式解题，属常规题型．
练习册系列答案
相关题目
（2011•潍坊二模）已知
m
=(cos?x，sin?x)，
n
=(cos?x，2
3
cos?x-sin?x)，?＞0，函数f(x)=
m
•
n
+|
m
|，x1，x2是集合M={x|f（x）=1}中任意两个元素，且|x1-x2|的最小值为
π
2
．
（1）求?的值．
（2）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边．f(A)=2，c=2，S△ABC=
3
2
，求a的值．
已知
a
=(-
3
sinωx，cosωx)，
b
=(cosωx，cosωx)(ω＞0)，令函数f(x)=
a
•
b
，且f（x）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调区间．
已知
a
=(cosθ，-sinθ)，
b
=(cosθ，sinθ)，θ∈(0，
π
2
)，且
a
•
b
=-
1
2
．
（1）求θ的大小；  
（2）若sin(x+θ)=
10
10
，x∈(
π
2
，π)，求cosx的值．
已知
a
=(2sin(x+
θ
2
)，
3
)，
b
=(cos(x+
θ
2
)，2cos2(x+
θ
2
))，f(x)=
a
•
b
-
3

（1）求f（x）的解析式；
（2）若0≤θ≤π，求θ，使f（x）为偶函数；
（3）在（2）的条件下，求满足f（x）=1，x∈[-π，π]的x的集合．

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