题目内容
【题目】如图,已知四棱锥,
,侧面
是边长为4的等边三角形,底面
为菱形,侧面
与底面
所成的二面角为
.
(1)求点到平面
的距离;
(2)若为
的中点,求二面角
的正弦值.
【答案】(1)3.(2)
【解析】
试题分析:(1)取的中点
,则
,因为
,所以
,从而
为侧面
与底面
所成的二面角的平面角,即
,再作
,垂足为点
,因此
(2)根据垂直关系,建立空间直角坐标系:以
为坐标原点,使
轴与
平行,
所在直线分别为
轴,求出各点坐标,利用方程组解出各面法向量,最后根据向量数量积求夹角,再由二面角与法向量夹角关系确定结论
试题解析:(1)解:如图,作平面
,垂足为点
,
连接与
交于点
,连接
.
∵,∴
.
∵,∴
.
∴点为
的中点,所以
.
由此知,为侧面
与底面
所成的二面角的平面角,
∴,
.
由已知可求得:,
∴,
即点到平面
的距离为3.
(2)如图以为坐标原点,使
轴与
平行,
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系
,则
,
,∴
,
,
,
∴,
,
.
设平面的法向量为
,则
,令
,则
,∴
.
设平面的法向量为
,则
,
令,则
,∴
,
.
记二面角为
,
,
即二面角的正弦值为
.
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