题目内容
【题目】如图,三棱柱中,底面
为正三角形,
底面
,且
,
是
的中点.
(1)求证: 平面
;
(2)求证:平面平面
;
(3)在侧棱上是否存在一点
,使得三棱锥
的体积是
?若存在,求出
的长;若不存在,说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)
【解析】试题分析:(1)连接交
于点
,连
,由三角形中位线的性质得
,再根据线面平行的判定可得结论。(2)先证
平面
,再由面面垂直的判定定理可得平面
平面
。(3)假设存在点
满足题意,不妨设
,由
可得
,从而可得点
确实存在,且
。
试题解析:
(1)如图,连接交
于点
,连
。
由题意知,在三棱柱中,
平面
,
∴四边形为矩形,
∴点为
的中点.
∵ 为
的中点,
∴.
∵ 平面
,
平面
.
∴ 平面
.
(2)∵底面为正三角形,
是
的中点,
∴,
∵ 平面
,
平面
,
∴ .
∵ ,
∴ 平面
,
∵ 平面
,
∴平面平面
.
(3)假设在侧棱上存在一点
,使三棱锥
的体积是
.
设。
∵ ,
,
∴ ,
即,
解得,
即.
∵ ,
∴ 在侧棱上存在一点
,使得三棱锥
的体积是
,此时
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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