题目内容
【题目】已知函数(
,
为自然对数的底数),
是
的导函数.
(Ⅰ)当时,求证:
;
(Ⅱ)是否存在正整数,使得
对一切
恒成立?若存在,求出
的最大值;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ)见解析;(2)2.
【解析】试题分析: (1)根据已知条件求出,设
.根据
得出
在
上为增函数,即可得证.
(2)令,则
只能取
或
.当
时,设
,求出
.由
得
在
上是减函数,在
是增函数,即
.故
对一切
恒成立.
试题解析:(Ⅰ)当时,
,则
令,则
令,得
,故
在
时取得最小值
∵,∴
在
上为增函数.
∴.
(Ⅱ),
由,得
对一切
恒成立
当时,可得
,所以若存在,则正整数
的值只能取1,2
下面证明当时,不等式恒成立
设,则
由(Ⅰ) ∴
∴当时,
;当
时,
即在
上是减函数,在
上是增函数
∴
当时,不等式恒成立
所以的最大值是22.
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