Question

已知椭圆的左、右焦点为F₁，F₂，且离心率为．
（1）若过F₁的直线交椭圆E于P，Q两点，且，求直线PQ的斜率；
（2）若椭圆E过点（0，1），且过F₁作两条互相垂直的直线，它们分别交椭圆E于A，C和B，D，求四边形ABCD面积的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆的第二定义，构建三角形，求得三边长，即可求得直线PQ的斜率；
（2）求出椭圆方程，当AC为2a，DB⊥x轴时，面积有最大值，最大值为2；当两条直线斜率都存在时，求出AC，BD的长，表示出四边形ABCD面积为S=|AC||BD|，利用基本不等式，即可求得结论．
解答：解：（1）设椭圆的左准线为l，作PD⊥x轴于D，作PN⊥l于N，由第二定义得|PN|=|PF₁|．
作QM⊥l于M，得|QM|=|F₁Q|=|PF₁|，
作QE⊥PN于E，交轴于点A得|EP|=4|AF₁|=|PF₁|，
∴|F₁D|=3|AF₁|=|PF₁|，
∴|PD|=|PF₁|，
∴直线PQ的斜率为±=；
（2）由题意，b=1，又，∴a=2，b=1，c=，
∴椭圆方程为．
∵DB、AC为过焦点的两条直线，∴当AC为2a，DB⊥x轴时，面积有最大值，最大值为2；
当两条直线斜率都存在时，F₁（-，0），设直线AC的方程为y=k（x-）
与椭圆联立消去y，（）x²-x+3k²-1=0
设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则x₁+x₂=，x₁x₂=
∴|AC|=|x₁-x₂|==
同理可得|BD|=，
∴四边形ABCD面积为S=|AC||BD|=×
令t=，则t≥2，∴S=×=2×=2（1-）
∵t≥2，∴，∴≤S＜2
∴四边形ABCD面积最小值为．
点评：本题考查椭圆的第二定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查四边形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．